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  \begin{center}
     {\afont Datenanalyse in der Teilchenphysik}
     
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	\begin{figure}[!htb]
	\center
	\includegraphics[width=4.5cm]{JGU}
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     {\large von}
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     {\dfont Johannes Damp \& Laura Wehner}
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     {\large F-Praktikum \/\\
        Johannes Gutenberg-Universit\"at Mainz \/\\
        im Oktober 2014}
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\chapter{Theorie}

	\section{Feynman-Diagramme}\label{sec:1.2}
	
		Die sogenannten Feynman-Diagramme können als Raumzeit-Diagramme aufgefasst werden. Die positive Zeitachse (ct) zeigt hierbei nach rechts und die positive Ortsachse (x) nach oben. Die Pfeilspitzen geben dabei die Bewegungsrichtung an, wobei ein Pfeil in die negative Zeitrichtung ein Antiteilchen bedeutet. Gestrichelte Linien stellen dabei ein W-Boson bzw. Z-Boson da. Die Punkte an denen mehrere Teilchen zusammentreffen nennt man Vertizes, an diesen Vertizes gelten Erhaltungssätze. Die Energie, Ladung, der Impuls, Drehimpuls, die Baryonenzahl und Leptonenzahl müssen erhalten sein.
		Mit Hilfe der Feynman-Diagramme können Zerfälle dargestellt werden. Zwei für diesen Versuch wichtige Zerfälle sind der $D*^-$- und der $\overline{D}^0$-Zerfall.
		
		\begin{align}
			D*^- \rightarrow \overline{D}^0 \pi^- \\
			\overline{D}^0 \rightarrow K^+ \pi^-
		\end{align}
		
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	\section{Teilchen}

		Die für den Versuch wichtigen Teilchen sind Mesonen. Sie bestehen aus zwei Quarks. Da gebundene Quark-Zustände nur in farbneutralen Kombinationen vorkommen, bestehen Mesonen aus einem Quark und Antiquark. Das $D*^-$ besteht aus einem down- und einem anticharm-Quark, wobei das $\overline{D}^0$ aus einem  up- und anticharm-Quark besteht.
		Weitere wichtige Teilchen sind die sogenannten Bosonen, für diesen Versuch wichtig ist das $Z^0$-Boson. Es ist ein Austauschteilchen der schwachen Wechselwirkung. Es ist neutral und hat eine Masse von \SI{91,2}{\GeV}.
		Es gibt ein hypothetisches Teilchen, das $Z'$-Boson, das eine schwerere Ausgabe des $Z^0$-Bosons sein soll. Dieses Teilchen ist neutral, farblos und selbstadjungiert, dies bedeutet, dass sie unter anderem ihr Antiteilchen sind. Diese $Z'$-Bosonen zerfallen in einem dileptonischen Prozess, beispielsweise ein Elektron-Positron-Paar. Als Spektrum sieht man das invariante Massenspektrum. Die Resonanz kann dabei durch eine Breit-Wigner-Kurve beschrieben werden, allerdings beschreibt die Detektorauflösung eine Gaußkurve. Daher kommt es zu einer Überlagerung aus Breit-Wigner- und Gaußkurve bei der die Gaußkurve der Detektorauflösung schlussendlich überwiegt. Daher handelt es sich bei der Resonanzkurve um eine Gaußverteilung. 
		
	\section{Wirkungsquerschnitt und Luminosität}
	
		Das Stoßverhalten kann durch den Wirkungsquerschnitt $\sigma$ beschrieben werden. Damit kann die Reaktionswahrscheinlickeit ausgedrückt oder die Ereignisrate berechnet werden. Zwar hat der Wirkungsquerschnitt die Dimension einer Fläche, wird allerdings normalerweise in barn angegeben (1b = $10^{-24}$\si{cm^2}.
		Eine weitere wichtige Größe ist die Luminosität.
		
		\begin{equation*}
			\mathcal{L} = \frac{1}{4\pi}\frac{f_u n_B N_1 N_2}{\sigma_x \sigma_y}
		\end{equation*}

		Der Wirkungsquerschnitt und die integrierte Luminosität können eine Aussage über die Zahl der Ereignisse eines bestimmten Prozesses machen:
		
		\begin{equation}
			N = \int \mathcal{L} dt \cdot \sigma
		\end{equation}
		
		
	\section{Massenbestimmung}
	
		Wie in Abschnitt \ref{sec:1.2} beschrieben, muss die Energie an den Vertizes der Feynman-Diagramme erhalten bleiben. Dies bedeutet, dass beim Zerfall des D-Mesons, $Z^0$-Bosons bzw. $Z'$-Boson die Energie/invariante Masse erhalten bleiben muss.
		Die invariante Masse erhält man aus dem Viererimpuls P:
		
		\begin{equation*}
			P^2 = \begin{pmatrix}
				E\\
				\vec{p}c
				\end{pmatrix}^2
			= E^2 - (\vec{p}c)^2 = m^2 c^4
		\end{equation*}
		
		In dieser Formel is E die Energie und $\vec{p}$ der Imouls des Teilchens, c ist dabei die Lichgeschwindigkeit im Vakuum. Dies gilt allerdings nur für ein Ein-Teilchen-System. Für die invariante Masse M eines n-Teilchen-Systems gilt:
		
		\begin{equation}
			M^2 c^4 = \left( \sum_{i=1}^n E_i \right)^2 - \left( \sum_{i=1}^n \vec{p}_i c \right)^2
		\end{equation}
		
		Da für diesen Versuch der Zweikörperzerfall wichtig ist wird hier folgende Formel benötigt:
		
		\begin{equation}
			M^2 c^4 = E^2 - (\vec{p}c)^2 = (E_1 + E_2)^2 - (\vec{p}_1 c + \vec{p}_2 c)^2 = m_{12}^2 c^4
		\end{equation}
		
		Dabei ist $E_1$ die Energie und $\vec{p}_1$ der Impuls des ersten und $E_2$ die Energie und $\vec{p}_2$ der Impuls des zweiten Teilchens, $m_{12}$ ist die invariante Masse des Systems der beiden Zerfallsprodukte.

	\section{Monte-Carlo-Simulation}
		
		Monte-Carlo-Simulationen dienen in der Physik um die Daten zu analysieren  oder um die physikalischen Prozesse besser zu Verstehen. Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation können auch Programme getestet werden, die dür die Analyse der Daten verantwortlich sind.
		Allerdings it eine Monte_carlo-Simualtion nur hilfreich, wenn die simulierten Ereignisse an die echten Daten angepasst sind. Daher müssen die integrierten Luminositäten übereinstimmen. Aus statistischen Gründen werden meist bei einer Monte-Carlo-Simulation mehr Ereignisse erzeugt, als an echten Daten zur Verfügung stehen. Daher wird ein Gewichtungsfaktor benötigt, um die integrierten Luminosiäten einander anzupassen. Bei manchen Simulationen werden die generierten Ereignisse noch durch einen simulierten Detektor geschickt, um die Auswirkungen des Detektors auf die Daten zu testen. 
		
		
		
		
		
	\section{Gaußverteilung und $\chi^2$-Wert}
	
		


%_______________________________________________________________________________

\chapter{Auswertung}  
  
  
  
  

%_______________________________________________________________________________
\begin{appendix}

\renewcommand{\bibname}{\bfont Bibliography} 
\bibliographystyle{h-physrev3}
\begin{thebibliography}{99}

%\cite{SUSY}
%\bibitem{SUSY}
%T. Kawamoto, S. Vlachos, L. Pontecorvo, J. Dubbert, G. Mikenberg, P. Iengo, C. Dallapiccola, C. Amelung, L. Levinson, R. Richter, D. Lellouch, "New Small Wheel Technical Design Report", CERN, Geneva, 2013, 
%\url{https://cds.cern.ch/record/1552862#}


\end{thebibliography}

\end{appendix}

\end{document}